2020年高考数学(理科)考点与题型全归纳(第三章 导数及其应用)
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝li ❶为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li .
函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
❷曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数．
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.
2．基本初等函数的导数公式
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原函数 |
导函数 |
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f(x)＝xn(n∈Q*) |
f′(x)＝n·xn－1 |
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f(x)＝sin x |
f′(x)＝cos x |
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f(x)＝cos x |
f′(x)＝－sin x |
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f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) |
f′(x)＝axln a |
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f(x)＝ex |
f′(x)＝ex |
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f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) |
f′(x)＝ |
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f(x)＝ln x |
f′(x)＝ |
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
5．定积分的概念
在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
6．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.
7．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
8．定积分的几何意义
定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.
①S＝f(x)dx；②S＝－f(x)dx；③S＝f(x)dx－f(x)dx；
④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.
(2)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.
二、常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：(1)′＝－；(2)(ln|x|)′＝；
(3)′＝－(f(x)≠0)；
(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
3．常见被积函数的原函数
(1)cdx＝cx；(2)xndx＝(n≠－1)；
(3)sin xdx＝－cos x；(4)cos xdx＝sin x；
(5)dx＝ln|x|；(6)exdx＝ex.
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
解析：选B f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.
2．(2019·宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝( )
A. B.
C. D．－2
解析：选C 因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝.
3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
答案：－2
4．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；
(4)y＝xsincos.
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝′＝＝－.(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)
＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
考法(一) 求切线方程
[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
[解析] 法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
法二：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，
∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
[答案] D
考法(二) 求切点坐标
[例2] 已知函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．
[解析] ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1，∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．
[答案] (1,0)
考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)
[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2] B．(3，＋∞)
C. D.
(2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
[解析] (1)由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，
∵ex＋1>1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则
解得－≤a≤.
(2)∵y′＝(ax＋a＋1)ex，
∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
[答案] (1)D (2)－3
考法(四) 两曲线的公切线问题
[例4] 已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
[解析] 由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a.
∵f′(0)＝a，f(0)＝，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.
设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－，
∴
将②代入①得ln x0＝，
∴x0＝e，∴a＝－＝－e－.
[答案] －e－
[题组训练]
1．曲线y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D．1
解析：选B 因为y′＝，所以y′x＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝2x，即y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－1|×＝.
2．已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值为________．
解析：由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－ln a，代入曲线方程得y＝1－ln a，所以切线方程为y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1⇒a＝1.
答案：1
3．若一直线与曲线y＝和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为________．
解析：设切点P(x0，y0)，则由y＝ln x，得y′＝，
由x2＝ay，得y′＝x，则有解得a＝2e.
答案：2e
