数列的通项及求和的几种方法

        本节主要包括利用猜想法、公式法、构造法、累差、累乘求数列的通项和利用公式法、分组求和、裂项求和、错位相减和倒序相加求和等知识点。其中难度较大的是利用构造法求数列的通项和错位相减求和。解答这类题主要是掌握规律性的东西，然后直接套方法就可以了。

1.   数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同。 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性。

3.   求通项常用方法

①作新数列法：作等差数列与等比数列  

②累差叠加法： 最基本形式是   a_n=(a_n－a_n－1+(a_n－1+a_n－2)+…+(a₂－a₁)+a₁  

③归纳、猜想法  

4.   数列前n项和常用求法

①重要公式

1+2+…+n= n(n+1)

1²+2²+…+n²= n(n+1)(2n+1)

1³+2³+…+n³=(1+2+…+n)²= n²(n+1)²

②等差数列中S_m+n=S_m+S_n+mnd，等比数列中S_m+n=S_n+qⁿS_m=S_m+q^mS_n  

③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a_n=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。 应掌握以下常见的裂项：

④错位相减法

⑤分组求和法

数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

       本节知识在段考和高考中是常考内容，多以选择题和填空题形式考查基础知识，以解答题的形式考查学生对数列的定义的证明、数列通项的求法和数列的求和问题，属于难题。也经常和数列的最值问题、恒成立问题等联合考查。

        解决数列问题时，容易把数列的项数和其它基本量弄错。

       【典型例题】

        例1  等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁＝3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁＝1，且b₂S₂＝64，b₃S₃＝960.

               (1)求a_n与b_n；

      例2  等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点(n，S_n)均在函数y＝b^x＋r(b

＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.

(1)求r的值；

解：(1)由题意，S_n＝bⁿ＋r，

当n≥2时，S_n－1＝b^n－1＋r.

所以a_n＝S_n－S_n－1＝ b^n－1(b－1)，

由于b＞0且b≠1，

所以当n≥2时，{a_n}是以b为公比的等比数列，