1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.
解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）
则C（0，0）A（0，3）B（4，0）
以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC'
则△BPP'，△BCC'均为等边三角形
所以PB=PP'，PC=P'C'
所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'
而C'（2，-2√3）
所以AC'=√[（0-2）?+（3+2√3）?]=√（25+12√3）.
即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.
2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.
由勾股定理得AD?=10?-x?=17?-(21-x）?，解得x=6，AD=8，DC=15
以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）
则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）
以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB'
则△CPP'，△CBB'均为等边三角形
所以PC=PP'，PB=P'B'
所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'
而B'（9/2，-21√3/2）
所以AB'=√[（0-9/2）?+（8+21√3/2）?]=√（415+168√3）.
即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√（415+168√3）.
【 补充说明】如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。
证明：∵AF=AB，∠FAC=∠BAE，AC=AE
∴△AFC≌ABE
∴CF=BE
同理可证△BCF≌BDA，CF=AD
∴AD=BE=CF.
∵△AFC≌ABE
∴∠AFC=∠ABE
∴∠BPF=∠BAF=60°，∠BPC=120°
同理可证∠APB=∠APC=120°
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°
至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。
