您现在的位置:首页 >> 杏坛资源 >> 学习资料 >> 内容

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

时间:2016-09-03 12:21:48 点击:

  核心提示:1、已知三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,P是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值. 解:由题意三角形ABC为直角三角形,以直角顶点C为原点,CB为x轴,CA为y轴建立坐标系(如...

1、已知三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,P是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.


解:由题意三角形ABC为直角三角形,以直角顶点C为原点,CB为x轴,CA为y轴建立坐标系(如图)

则C(0,0)A(0,3)B(4,0)

以B为旋转中心,将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C',连接PP'、CC'、AC'

则△BPP',△BCC'均为等边三角形

所以PB=PP',PC=P'C'

所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'

而C'(2,-2√3)

所以AC'=√[(0-2)?+(3+2√3)?]=√(25+12√3).

即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√(25+12√3).

2、已知三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC=21,P是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.


解:过A作AD⊥BC于D,设BC=x,则CD=21-x

由勾股定理得AD?=10?-x?=17?-(21-x)?,解得x=6,AD=8,DC=15

以D为坐标原点,BC为x轴,DA为y轴建立坐标系(如图)

则A(0,8)B(-6,0)C(15,0)

以C为旋转中心,将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B',连接PP'、BB'、AB'

则△CPP',△CBB'均为等边三角形

所以PC=PP',PB=P'B'

所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'

而B'(9/2,-21√3/2)

所以AB'=√[(0-9/2)?+(8+21√3/2)?]=√(415+168√3).

即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√(415+168√3).

 补充说明】图,以△ABC的三边为边,分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF,连接AD、BE、CF,则(1)AD、BE、CF交于一点P,且∠APB=∠APC=∠BPC=120°,(2)P到A、B、C三顶点距离的和最小,且PA+PB+PC=AD=BE=CF。

证明:∵AF=AB,∠FAC=∠BAE,AC=AE

∴△AFC≌ABE

∴CF=BE

同理可证△BCF≌BDA,CF=AD

∴AD=BE=CF. 

△AFC≌ABE

∴∠AFC=∠ABE

∴∠BPF=∠BAF=60°,∠BPC=120°

同理可证∠APB=∠APC=120°

∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°

至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。

Tags:三角形 
作者:不详 来源:网络

精华学校名师视频课程推荐
温馨提示:注册时邀请码填写JHZX052可获取100元听课礼券!
年级 课程名称 主讲老师 详情
初一课程 初一全科强化班! 林彦双等 查看详情>>
初二课程 初二全科强化班! 邹一萍等 查看详情>>
初三课程 初三全科强化班! 王栋波等 查看详情>>
高一课程 高一重难点突破班 胡正伟等 查看详情>>
高中全科巨无霸套餐 司马红丽等 查看详情>>
高二课程 高二全科强化班! 赵志平等 查看详情>>
高中全科巨无霸套餐 王文博等 查看详情>>
高三课程 高考一轮复习班! 苗金利等 查看详情>>
高三全科强化班! 袁腾飞等 查看详情>>
更多课程+更多介绍>>点击进入 温馨提示:注册时邀请码填写JHZX052可获取100元听课礼券!
共有评论 0相关评论
发表我的评论
  • 大名:
  • 内容:
  • 教育杏坛(www.edu910.com) © 2022 版权所有 All Rights Reserved.
  • Email:zm8284@126.com 站长QQ:734875680 浙ICP备14012759号
  • Powered by laoy! V4.0.6