知识点总结
本节主要包括分析法、综合法、反证法和数学归纳法证明等知识点。主要是理解和掌握分析法、综合法和数学归纳法证明。
1.分析法:从原因推导到结果的思维方法.
2.综合法:从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.
3.反证法:判定非q为假,推出q为真的方法.
应用反证法证明命题的一般步骤:⑴分清命题的条件和结论;⑵做出与命题结论相矛盾的假定;⑶由假定出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果;⑷间接证明命题为真.
5.直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;间接证明的一种基本方法──反证法.
6.数学归纳法的步骤:(1)证明当n=1时,命题成立。(2)证明假设当n=k时命题成立,则当n=k+1时,命题也成立。由(1)(2)得原命题成立
误区提醒
1、 利用数学归纳法证明时,注意格式规范,推理严谨。
2、 利用反证法证明时,要弄清命题的反面内容。
【经典例题】
例1 已知a,b,c是互不相等的实数.
求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.
证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点),
由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,
得Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0,Δ3=(2a)2-4bc≤0.
上述三个同向不等式相加得,
4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0,
∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,
∴a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾,
因此假设不成立,从而命题得证.