2020年高考数学(文科)考点与题型全归纳(第一章:集合与常用逻辑用语)
第一章 集合与常用逻辑用语
一、基础知识
1.集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性.
元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中.
(2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
(3)元素与集合的两种关系:属于,记为;不属于,记为.
(4)五个特定的集合及其关系图:
N*或N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称A是B的子集,记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集:如果集合A是集合B的子集,但集合B中至少有一个元素不属于A,则称A是B的真子集,记作AB或BA.
AB⇔既要说明A中任何一个元素都属于B,也要说明B中存在一个元素不属于A.
(3)集合相等:如果A⊆B,并且B⊆A,则A=B.
两集合相等:A=B⇔A中任意一个元素都符合B中元素的特性,B中任意一个元素也符合A中元素的特性.
(4)空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集.记作∅.
∅∈{∅},∅⊆{∅},0∉∅,0∉{∅},0∈{0},∅⊆{0}.
3.集合间的基本运算
(1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(2)并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁UA.
二、常用结论
(1)子集的性质:A⊆A,∅⊆A,A∩B⊆A,A∩B⊆B.
(2)交集的性质:A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(3)并集的性质:A∪B=B∪A,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪A=A,A∪∅=∅∪A=A.
(4)补集的性质:A∪∁UA=U,A∩∁UA=∅,∁U(∁UA)=A,∁AA=∅,∁A∅=A.
(5)含有n个元素的集合共有2n个子集,其中有2n-1个真子集,2n-1个非空子集.
(6)等价关系:A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔A⊇B.
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
(2)已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 019+b2 019的值为( )
A.1 B.0
C.-1 D.±1
[解析] (1)因为A表示圆x2+y2=1上的点的集合,B表示直线y=x上的点的集合,直线y=x与圆x2+y2=1有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.
(2)由已知得a≠0,则=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 019+b2 019=(-1)2 019+02 019=-1.
[答案] (1)B (2)C
[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.
[题组训练]
1.设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合B中元素的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选A 若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A;当-1∈B时,1-(-1)=2∈A;当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;当-3∈B时,1-(-3)=4∉A,所以B={-3},故集合B中元素的个数为1.
2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a等于( )
A. B.
C.0 D.0或
解析:选D 若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=,符合题意.
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=,
所以a的值为0或.
3.(2018·厦门模拟)已知P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围为 .
解析:因为P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},故k的取值范围为5<k≤6.
答案:(5,6]