导数中的构造函数（最全精编）

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函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，
而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下
面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

1、利用f (x) 与x 构造；常用构造形式有xf (x), f (x) ；这类形式是对u  v, u 型
函
x v
数导数计算的推广及应用，我们对u  v, u 的导函数观察可得知， u  v 型导函数中
v
体现的是“  ”法， u 型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当
v
导函数形式出现的是“  ”法形式时，优先考虑构造u v 型，当导函数形式出现
的是“－”法形式时，优先考虑构造u ，我们根据得出的“优先”原则，看一看
v
例1，例2.
【例1】f (x) 是定义在R 上的偶函数，当x  0 时， f (x)  xf ' (x)  0 ，且
f (4)  0 ，则不等式xf (x)  0 的解集为
【解析】构造F(x)  xf (x) ，则F ' (x)  f (x)  xf ' (x) ，当x  0 时，f (x)  xf ' (x)  0 ，
可以推出x  0 ， F ' (x)  0 ， F (x) 在(,0) 上单调递减.∵ f (x) 为偶函数， x 为奇函
数， 所以F (x) 为奇函数， ∴ F (x) 在(0,) 上也单调递减. 根据f (4)  0 可得
F (4)  0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知xf (x)  0 的解
集为(,4)  (0,4) .
❀❀❀思路点拨：出现“  ”形式，优先构造F(x)  xf (x) ，然后利用函数的单调性、
奇偶性和数形结合求解即可.
导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，
而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下
面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。
（一）利用f (x) 进行抽象函数构造
【例2 】设f (x) 是定义在R 上的偶函数， 且f (1)  0 ， 当x  0 时， 有
xf ' (x)  f (x)  0 恒成立，则不等式f (x)  0 的解集为
2
xn
F (x)  f (x) 然 后 利 用 ❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x)  nf (x) ”形式，优先构造
函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
xf (x), f (x) 是比较简单常见的f (x) 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，
x
不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.
我们根据得出的结论去解决例3 题
【例3】已知偶函数f (x)(x  0) 的导函数为f ' (x) ，且满足f (1)  0 ，当x  0
xf ' (x)  f (x)  0 ，可以推出x  0 ，F ' (x)  0 ，F (x) 在(,0) 上单调递增.∵ f (x) 为
偶函数， x 为奇函数，所以F (x) 为奇函数，∴ F (x) 在(0,) 上也单调递减.根据
f (1)  0 可得F(1)  0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知
f (x)  0 的解集为(,1) (1,) .
f ' (x)  x  f (x)
， 当x  0 时， x2
f (x) ， 则 F' (x) 
x
【解析】构造F (x) 
F (x)  然后利用函数的单调 f (x)
x
❀❀❀思路点拨：出现“ ”形式，优先构造
性、奇偶性和数形结合求解即可.
xn 出现xf ' (x)  nf (x) 形式，构造函数F (x)  f (x) .
结论：
出现nf (x)  xf ' (x) 形式，构造函数F (x)  xn f
(x) ；
； xf ' (x)  nf (x)
xn1
f ' (x) xn  nxn1 f (x)  x2n
f (x) ，F'(x) 
F (x) xn
F(x)  xn f (x) ， F ' (x)  nxn1 f (x)  xn f (x)  xn1[nf (x)  f ' (x)] ；
时， 2 f (x)  xf ' (x) ，则使得f (x)  0 成立的x 的取值范围是
3
xn
'
❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x)  nf (x) ”形式，优先构造F (x)  xf (2x) ，然后利用
函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意f (2)  0 和F (x) 的转化.
xf ' (x)  2 f (x)  0 ，可以推出x  0 ，F ' (x)  0 ，F(x) 在(0,) 上单调递减.∵ f (x) 为
偶函数， x2 为偶函数，所以F (x) 为偶函数，∴ F (x) 在(,0) 上单调递增.根据
f (1)  0 可得F(1)  0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知
f (x)  0 的解集为(1,0)(0,1) .
【解析】构造F (x)  f (x)
x2 ， 则F (x)

f ' (x)  x  2 f (x)
， 当x  0 时， x3
【变式提升】设函数f (x) 满足x3 f ' (x)  3x2 f (x)  1 ln x ，且f (
则x  0 时， f (x) （ ）
A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值
C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值
e )  1 ，
2e
❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x)  nf (x) ”形式，为n  3时情况，优先构造F(x)  f (x) ，
【例4】设f (x) 是定义在R 上的奇函数，在(,0) 上有2xf ' (2x)  f (2x)  0 ，
且f (2)  0 ，则不等式xf (2x)  0 的解集为.
然后利用积分、函数的性质求解即可.
【解析】构造F(x)  xf (2x) ， 则F ' (x)  2xf ' (x)  f (2x) ， 当x  0 时，
F ' (x)  2xf ' (x)  f (2x)  0 ，可以推出x  0 ，F ' (x)  0 ， F(x) 在(,0) 上单调递减.
∵ f (x) 为奇函数， x 为奇函数，所以F(x) 为偶函数，∴ F (x) 在(0,) 上单调递增.
根据f (2)  0 可得F (1)  0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像
可知xf (2x)  0 的解集为(1,0)  (0,1) .
4
（2） 利用f (x) 与ex 构造；
f (x) 与ex 构造， 一方面是对u  v, u
v
函数形式的考察， 另外一方面是对
(ex )  ex 的考察.所以对于f (x)  f ' (x) 类型，我们可以等同xf (x), f (x) 的类型处
x
理，“  ”法优先考虑构造F (x)  f (x)  ex ，“ ”法优先考虑构造F(x)  f (x)
ex .
'
e2
x
【例5】已知f (x) 是定义在(,) 上的函数，导函数f ' (x) 满足f ' (x)  f (x)
对于x  R 恒成立，则（ ）
A 、f (2)  e2 f (0), f (2014)  e2014 f (0) B 、f (2)  e2 f (0), f (2014)  e2014 f (0)
C 、f (2)  e2 f (0), f (2014)  e2014 f (0) D 、f (2)  e2 f (0), f (2014)  e2014 f (0)
ex
见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？
同样ex f (x), f (x) 是比较简单常见的f (x) 与ex 之间的函数关系式，如果碰
函数f ' (x) 满足f ' (x)  f (x) ，则F ' (x)  0 ， F (x) 在R 上单调递减，根据单调性可
知
选D.
，导f ' (x)  f (x)
ex
ex f ' (x)  ex f (x)  e2 x
形式，则 F' (x)

f (x)
【解析】构造 F(x)  ex
函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
ex ❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x)  f (x)  0 ”形式，优先构造F (x)  f (x) ，然后利用
enx 2、出现f ' (x)  nf (x) 形式，构造函数F(x)  f (x) .
结论：1、出现f ' (x)  nf (x) 形式，构造函数F(x)  enx f (x) ；
；
f ' (x)enx  nenx f (x)  [ f ' (x)  nf (x)]
e2nx enx
，
f (x) F'(x) 
F (x) enx
F(x)  enx f (x) ， F ' (x)  n  enx f (x)  enx f ' (x)  enx [ f ' (x)  nf (x)]；
我们根据得出的结论去解决例6 题.
【例6】若定义在R 上的函数f (x) 满足f ' (x)  2 f (x)  0, f (0)  1 ，则不等式
f (x)  e2 x 的解集为
❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x)  2 f (x)  0 ”形式，优先构造F (x)  f (x) ，然后利用
函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
【解析】构造F(x)  f (x)
e2 x 形式，则F (x) 
e2 x f ' (x)  2e2 x f (x)  e4 x
f ' (x)  2 f (x)
e2 x ，
导函数f ' (x) 满足f ' (x)  2 f (x)  0 ， 则F ' (x)  0 ， F (x) 在R 上单调递增. 又
∵
f (0)  1，则F(0)  1， f (x)  e2 x  f (x)  1  F(x)  F(0) ，根据单调性得x  0 .
e2
x
❀❀❀思路点拨：利用通式构造函数时考虑 4 如何转化.构造函数F (x)  f (x)  2
'
ex
【变式提升】若定义在R 上的函数f (x) 满足f ' (x)  2 f (x)  4  0, f (0)  1，
则不等式f (x)  e2 x  2 的解集为
【例7】已知函数f  x  在R 上可导，其导函数为f  x ，若f  x  满足：
(x 1)[ f x  f x ]  0 ， f (2  x)  f x e22 x ，则下列判断一定正确的是（ ）
（A） f(1)  f (0) （B） f (2)  e2 f (0)
（C） f (3) e3 f (0) （D） f (4) e4 f (0)
5
e2 x e2 x
❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x)  f (x) ”形式，优先构造F (x)  f (x) ，然后利用函数
的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
【解析】构造F(x)  f (x)
ex 形式，则F (x)

ex f ' (x)  ex f (x)  e2 x
f ' (x)  f (x)
ex ，导
函数f ' (x) 满足(x 1)[ f ' (x)  f (x)]  0 ，则x  1时F ' (x)  0 ，F(x) 在[1,)上单调递
增. 当x 1 时F ' (x)  0 ， F(x) 在(,1] 上单调递减. 又由
f (2  x)  f (x)e22 x  F(2  x)  F (x)  F(x) 关于x  1 对称，根据单调性和图像，
可知选C.
6
根据得出的关系式，我们来看一下例8
【例8 】已知函数y  f  x  对于任意的x (  
2 2
, ) 满足
f  xcos x  f x sin x  0 （其中f  x 是函数f x 的导函数），则下列不等式
不成立的是（ ）
A 、2 f
  f

( ) ( )
3 4
B、2 f (   f ( 
3
)
4
)
C、f (0)  2 f

()4
D、f (0)  2 f (
3
)
化后可知选B.
2 2
    '   满足f  x cos x  f x sin x  0 ，则F (x)  0 ，F(x) 在( , ) 上单调递增.把选项转
f ，导函数 f' (x) ' (x) cos x  f (x) sin
x
cos2 x
f (x) 形式，则 F '(x) 
cos x
【解析】构造F (x)

然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
cos
x
❀❀❀思路点拨：满足“ f  xcos x  f x sin x  0 ”形式，优先构造F (x)  f (x)
.
f ' (x) cos x  f (x) sin
x
cos2 x
f (x) , F' (x) 
cos x
F (x)

F(x)  f (x) cos x, F ' (x)  f ' (x) cos x  f (x) sin x ；
；
f ' (x) sin x  f (x) cos
x
sin 2 x
f (x) , F' (x) 
sin x
F (x)

F(x)  f (x) sin x, F ' (x)  f ' (x) sin x  f (x) cos x ；
（3） 利用f (x) 与sin x,cos x 构造.
sin x,cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一
起看看常考的几种形式.
【变式提升】定义在(0,

) 上的函数，函数f
2
' (x) 是它的导函数，且恒有
7
3
2 3
f (x)  f ' (x) tan x 成立，则（ ）
  
A、f ( ) 
4
f ( )
3
B、f (1)  2 f ( ) sin1
6
   
C、f ( ) 
6
f ( )
4
D、f ( ) 
6
f ( )
3
（二）构造具体函数关系式构造
这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不
等式及求值问题.
【例9】,[
,

，且sin sin  0 ，则下列结论正确的是（
2 2
] ）
A、  B、2  2 C、  D、  0
【变式提升】定义在R 上的函数f (x) 满足f (1)  1 且对x  R, f ' (x)  1 则
， 2
不等式f (log x)  log2 x 1 的解集为.
2 2
【例10】等比数列{an }中，a1  2 ，a8  4 ，函数f (x)  x(x  a1 )(x  a2 )...(x  a8 ) ，
2
f ' (x)  0 ， f (x) 单调递增；x [
,
0) 时导函数f ' (x)  0， f (x) 单调递减.有∵ f (x)
2
为偶函数，根据单调性和图像可知选B.
 【解析】构造 f (x)  x sin x形式，则 f '(x)  sin x  x cos x ，x[0, ]时导函数
❀❀❀思路点拨：构造函数f (x)  x sin x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即
可.
，利用单调性求解集，然后解对数不等式即可.
2 2 t 1
2
f (t) 
❀❀❀思路点拨：构造函数F (x)  f (x)  1 x2 ，令t  log x ，然后原不等式等价于
❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x) sin x  f (x) cos x ”形式，优先构造F (x)  f (x) ，然后
sin x
利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
则f ' (0)  （ ）
2
8
A、26 B、29 C、212 D、215
9
)
1 2 8 f ' (x)  g(x)  xg ' (x) ，∴ f ' (0)  g(0)  a  a ... a  (2  4)4  212 ，故选C.
【解析】令g(x)  (x  a1)(x  a2 )...(x  a8 ) 形式， 则f (x)  xg(x) ，
❀❀❀思路点拨：构造函数f (x)  xg(x) ，然后利用整体代换思想和数列的性质求解
即可.
f ' (x)  sin 2x ，且x  R ，有f (x)  f (x)  2 sin 2 x ，则以下大小关系一定
正确的是（ ）
f (5 4 
A、)  f ( )
6 3
B、f ( ) 
4
f ()
【例11】已知实数a,b,c 满
足
a 2ea
b
 1 c
d 1
 1，其中e 是自然对数的底数，
那么(a  c)2  (b  d)2 的最小值为( )
A、8 B、10 C、12 D、18
【变式提升】已知实数a,b 满足2a2  5ln a  b  0 ，c R ，则(a  c)2  (b  c)2
的最小值为
【课后作业】设函数f (x) 在R 上的导函数f ' (x) ， 在(0,) 上
  8
11 
 | 0  2  2 2
为(0,2) ，所以(a  c)2  (b  d )2 的最小值为


d 1
1 c  1 d  2  c  g(x)  2  x ；由f ' (x)  1 2ex  1，得x  0 ，所以切点坐标
1b  a  2ea 进 而  f (x)  x  2ex ； 又 由
b
a  2ea
【 解 析 】 由 
❀❀❀思路点拨：把(a  c)2  (b  d )2 看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及
点到直线的距离即可.
❀❀❀思路点拨：构造函数f (x)  2x2  5 ln x ， g(x)  x ，然后利用两点之间的距
离公式和数形结合思想求解即可.
)
10
C、 f ( 5)

6
f ( 4
3
D、f (


4
f ()
11
构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，
是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。

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